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Introducción

El presente BLOG tiene como objetivo comprender la importancia del estudio de los tema que estamos desarrollando en el curso de aprendizaje matemático 2 en este curso estamos viendo una variedad de tema lo cual se desarrollara Razón y Proporción. Asimismo se busca el razonamiento y la forma didáctica de aplicar los problemas y el desarrollo educativo, y sus posibles soluciones.
Explicar las características de los problemas como una generalización de sus posibles respuestas y aplicarlas hacia el campo educativo.
El estudiante deberá desarrollar de manera conceptual y gráfica y el razonamiento de resolver problemas de aplicación de la razones y proporciones...


Razón y Proporción:

tanto la razón como la proporción son dos conceptos matemático sumamente útiles en la vida cotidiana de cualquier individuo. En esta nota, analizaremos y practicaremos estos temas con unos ejercicios divertido para que puedas aprender de forma fácil y entretenida.

Razón: es la comprensión de dos cantidades y se mide a partir de la división de dos valores, mientras que la proporción es la igualdad entre dos o mas razones.

1. El producto de los extremos es igual al producto de medios a*q = b*p

1. Si se invierten los términos se obtiene otra proporción p/a = q/b

1. Si se intercambian los extremos o medios se obtienen otra proporción q/p = b/a

1. Si se suma o se resta uno en ambos miembros de la igualdad se obtiene otra proporción    (a + p) /p = (b +q) /q  o también  (a - p) /p = (b - q) /q

* Determinamos si es proporción utilizando alguna de las propiedades anteriores.

NOTA "Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama razón ARITMÉTICA. Pero si se realiza mediante una división se llamará razón GEOMÉTRICA"  

 Ejemplos:

1.- Las edades de Eduardo y Rene son 48 y 12 años, se observa que:

                  48-12= 36 Razón aritmética. (Sustracción) 48 excede a 12 en 36 unidades.

          2.- 48/12= 4 Razón geométrica. (División) 48 es a 4 veces 12.

  Donde:
a: es antecedente
b: es consecuente
r: es valor de razón aritmética
k: es valor de razón geométrica

En primer lugar, es necesario saber la definición de ambos conceptos. 
La razón es la comparación de dos cantidades y se mide a partir  de la división de los valores, entonces: a/b. Es importante saber que esos valores precisan estar en las unidades de medida y que el denominador debe ser diferente de 9.

Ejemplo:  Si la ganancia de una empresa es de 15.000 y el gasto es de 5.000. ¿Cuál es la razón de la empresa?     15.000 = 3
                                             5.000

Propiedades de las razones:
Como vemos en los ejemplos, debido a que la razón de dos cantidades no es más que una división indicada o una fracción, las propiedades de las razones serán las propiedades de las fracciones o quebrados. 
1.- Si el antecedente (equivale al numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
2.- Si el consecuente (equivale al numerador) de una razón se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y se multiplica en el segundo por ese mismo número.
3.- Si el antecedente y el consecuente de una razón se multiplica o dividen por un mismo número, la razón no varía.

De acuerdo con estas propiedades, los términos pueden reducirse o aumentarse, simplificarse, entre otros.

Proporción es la igualdad entre dos o mas razones. O sea, si a/b corresponden  a la razón, entonces a/b= c/d equivale a una proporción. Es frecuente que este contenido caiga en forma de problema. ¿Vamos a usar un ejemplo para comprender mejor?


1.- Una vaca da 65 litros de leche en 4 días ¿Cuántos litros debe dar en 16 días? Si su producción es constante.

litros de leche          Numero de días
      65                                4
      X                                 16            X=65.16 =260
                                                              4                    En 16 días dan 260 litros de leche.


2.- Si lápices cuestan 3 ¿cuál es el costo de 21 lápices? si proporción es la igualdad de las razones, entonces: 9/3 = a 12/x. De esta manera, podemos darnos cuenta que x sera el valor de la proporción.

 9 = 12   
 3      x
 De esta manera podemos darnos 
cuenta que x sera el valor de la proporción          en este caso utilizamos la regla de tres, y el costo de 12 lapices es igual  4

tipos de proporcionalidades:  podemos decir que una proporción se da en las situaciones matemáticas en que los valores de dos magnitudes dependen el uno con el otro de manera directa (Proporcionalidad directa). Así, cuando uno de los valores de la relación aumente, el otro lo hará también necesariamente, como es por Ejemplo la relación entre temperatura y energía:  a mayor temperatura, se registra mayor energía y viceversa.
En cambio, en una relación en que el aumento de uno de los términos acarrea la disminución del otro, se dice que estamos antes una proporcionalidad inversa.

Las principales propiedades que se cumplen en toda proporción a/p = b/q son:

Ejemplos:  Determinar si las siguientes razones son proporciones.

Si multiplicamos los extremos debe de ser igual a la multiplicación de los medios 12 x 16 =192; 32 x 6 = 192; por lo tanto si es una proporción.

 12 y 6

 32   16

* Determinamos si es proporción utilizando alguna de las propiedades anteriores.

5 x 75 = 75; 7 x 25 = 75; por lo tanto no es una proporción ya que los dos resultados no son iguales. 

5  y 7

25  75

Si multiplicamos los extremos debe ser igual a la multiplicación de los medios.

6 x 3 = 18; 4 x 8 = 32; por lo tanto no es una proporción. 

6 y 4 

 8    3

 Esto puede expresarse como que  dos términos son inversamente proporcionales: cuando uno sube el otro baja, y viceversa. Tal es la relación entre velocidad y tiempo: a mayor velocidad menor tiempo tardaremos en llegar a nuestro destino y viceversa.

                                                   
Elementos de una proporción: los valores A y D se llaman extremos, y los valores B y C se llaman medios. En una proporción A/B = C/D tenemos que:
A y C se llaman antecedentes y B y D se llaman consecuentes.

Para finalizar practicaremos unos ejercicios:  

1.- En una clase de idiomas, la razón entre  chicas y chicos es de 5 para 8 si el total es de 65 alumnos, ¿cuantas chicas hay en esa clase de idiomas?.

Si la razón es dada por la división de 2 cantidades, luego 5/13 (5 es el numero de chicas y  el 13 es la suma de 5+8 de los chicos). Si multiplicáramos el numerador y el denominador por 5 para llegar al numero total de alumnos en clase, tendremos el numero de chicas en la clase es de 25, y entonces 25/65.

2.- Usted pagó 20.000 por dos cuadernos; si tuviese 40.000 hubiera comprado 4. ¿Los resultados representan una proporción.     
a) 20 = 10        b) 40 = 10  
     2                         4
 en este caso las dos razones son una proporción


3.- Se necesita trasportar 1200 sacos de papas de supermercado. El camión de la hacienda lleva 80 las papas? 80   =  1        
                                 1200     X        x =1.1200/80 =15   a mas camiones menos viajes.



Referencias bibliográficas:

https://noticias.universia.net.co/actualidad/noticia/2014/09/03/1110861/razon-proporcion-matematica-como-cuando-emplear-cada-concepto.html


https://www.portaleducativo.net/septimo-basico/293/Razones-proporciones.